题目内容

函数f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函数为f-1（x），数列{an}和{bn}满足：a1=
1
2
，an+1=f-1（an），函数y=f-1（x）的图象在点（n，f-1（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为bn．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{
bn
a
2
n
-
λ
an
}；的项中仅
b5
a
2
5
-
λ
a5
最小，求λ的取值范围；
（3）令函数g(x)=[f-1(x)+f(x)]- 
1-x2
1+x2
，0＜x＜1．数列{xn}满足：x1=
1
2
，0＜xn＜1且xn+1=g（xn），（其中n∈N*）．证明：
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．
分析：（1）先求出函数f（x）的反函数f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)．an+1=f-1(an)=
an
1+an
，由此能求出数列{an}的通项公式；
（2）由f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)，知[f-1(x)]′=
1
(1+x)2
，所以y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
(x-n)，由此入手能求出λ的取值范围．
（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
1-x2
1+x2
=[
x
1+x
+
x
1-x
]•
1-x2
1+x2
=
2x
1+x2
，x∈(0，1)．所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
，又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn．由此入手能够证明
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
+…+
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
．
解答：解：（1）令y=
x
1-x
，解得x=
y
1+y
；由0＜x＜1，解得y＞0．
∴函数f（x）的反函数f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)．
则an+1=f-1(an)=
an
1+an
，
1
an+1
-
1
an
=1．
∴{
1
an
}是以2为首项，1为公差的等差数列，故an=
1
n+1
．（4分）

（2）∵f-1(x)=
x
1+x
(x＞0)，∴[f-1(x)]′=
1
(1+x)2
，
∴y=f-1（x）在点（n，f-1（n））处的切线方程为y-
n
n+1
=
1
(1+n)2
(x-n)，
令x=0得bn=
n2
(1+n)2
．∴
bn
a
2
n
-
λ
an
=n2-λ(n+1)=(n-
λ
2
)2-λ-
λ2
4
．
∵仅当n=5时取得最小值，∴4.5＜
λ
2
＜5.5．
∴λ的取值范围为（9，11）（8分）

（3）g(x)=[f-1(x)+f(x)]•
1-x2
1+x2
=[
x
1+x
+
x
1-x
]•
1-x2
1+x2
=
2x
1+x2
，x∈(0，1)．
所以xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
，
又因0＜xn＜1，则xn+1＞xn（10分）
显然1＞xn+1＞xn＞x2＞
1
2
．xn+1-xn=xn(1-xn)•
1+xn
x
2
n
+1
≤
1
4
•
1
xn+1+
2
xn+1
-2
＜
1
4
•
1
2
2
-2
=
2
+1
8

∴
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
xn+1-xn
xnxn+1
(xn+1-xn)=(xn+1-xn)(
1
xn
-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
(
1
xn
-
1
xn+1
)
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn+1-xn)2
xnxn+1
＜
2
+1
8
[(
1
x1
-
1
x2
)+(
1
x2
-
1
x3
)++(
1
xn
-
1
xn+1
)]
=
2
+1
8
(
1
x1
-
1
xn+1
)=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)（12分）
∵
1
2
＜xn+1＜1，∴1＜
1
xn+1
＜2，∴0＜2-
1
xn+1
＜1
∴
(x1-x2)2
x1x2
+
(x2-x3)2
x2x3
++
(xn+1-xn)2
xnxn+1
=
2
+1
8
(2-
1
xn+1
)＜
2
+1
8
（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
对于函数f(x)=
x1+|x|
，下列结论正确的是
④
④
．
①f（x）在（-∞，+∞）上不是单调函数
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有两个不等的实数解；
③?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）-kx在R上有三个零点；
④?x1，x2∈R，若x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）．
（2009•南汇区二模）三位同学在研究函数f(x)=
x
1+|x|
（x∈R） 时，分别给出下面三个结论：
①函数f（x）的值域为 （-1，1）
②若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）
③若规定f1（x）=f（x），fn+1（x）=f[fn（x）]，则fn(x)=
x
1+n|x|
对任意n∈N*恒成立．
你认为上述三个结论中正确的个数有
3
3
．
已知函数f(x)=-
x1+|x|
，则满足f（2-x2）+f（x）＜0的x的取值范围是
（-1，2）
（-1，2）
．
已知函数f(x)=
x
1-x
(0＜x＜1)的反函数为f-1（x）．设数列{an}满足a1=1，an+1=f-1（an）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}满足b1=
1
2
，bn+1=(1+bn)2•f-1(bn)，求证：对一切正整数n≥1都有
1
a1+b1
+
1
2a2+b2
+…+
1
nan+bn
＜2．
（2013•揭阳一模）已知函数f(x)=
αx
1+xα
(x＞0，α为常数），数列{an}满足：a1=
1
2
，an+1=f（an），n∈N*．
（1）当α=1时，求数列{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，证明对?n∈N*有：a1a2a3+a2a3a4+…+anan+1an+2=
n(n+5)
12(n+2)(n+3)
；
（3）若α=2，且对?n∈N*，有0＜an＜1，证明：an+1-an＜
2
+1
8
．

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