Question

已知等差数列{a_n}各项都不相同，前3项和为18，且a₁、a₃、a₇成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n+1-b_n=a_n（n∈N^*），且b₁=2，求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得 a₁+a₂+a₃=3a₂=18，解得a₂=6，再由a₁、a₃、a₇成等比数列，建立关于公差d的方程并解之得d=2，由等差数列通项公式即可算出数列{a_n}的通项公式；
（2）利用逐项作差、累加求和的方法，结合等差数列的前n项和公式算出b_n=n（n+1），得到

1

bn

关于n的表达式并化简得

1

bn

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项相消法求和可得数列{

1

bn

}的前n项和T_n的表达式．

解答：解：（1）依题意，得
 a₁+a₂+a₃=18，即3a₂=18，解得a₂=6
设数列{a_n}的公差为d，可知d≠0
可得a32=a1a7，即（6+d）²=（6-d）（6+5d）
解之得 d=2
∴a_n=a₂+（n-2）d=2（n+1），即数列{a_n}的通项公式为a_n=2（n+1）；
（2）由已知b_n+1-b_n=a_n
∴当n≥2时，b_n-b_n-1=a_n-1=2n，所以可知

bn-1-bn-2=2(n-1) … b2-b1=2×2 b1=2×1

以上各式进行累加，可得b_n=2（1+2+3+…+n）=n（n+1）
又∵b₁=2=1×（1+1），也满足b_n=n（n+1）
∴可知当n∈N^*时，b_n=n（n+1）
因此

1

bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
可得Tn=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题给出等差数列{a_n}满足的条件，求它的表达式并依此求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．着重考查了等差数列的通项公式、求和公式和裂项相消法求和等知识，属于中档题．