Question

已知f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f(

π

4

)的值；
（2）若x∈[-

π

2

，0]时，求f(x)的值域；
（3）求y=f（-x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先由二倍角公式把f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1等价转化为f（x）=

3

sin2x+cos2x+2，再由三角函数和（差）公式进一步转化为f（x）=2sin（2x+

π

6

）+2．由此能求出f(

π

4

)的值．
（2）若x∈[-

π

2

，0]，则2x+

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，由此能求出f（x）的值域．
（3）y=f（-x）=2sin（-2x+

π

6

）+2，其增区间为：-

π

2

+2kπ≤-2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，由此能求了出结果．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx+1
=2×

1+cos2x

2

+

3

sin2x+1
=

3

sin2x+cos2x+2
=2sin（2x+

π

6

）+2．
∴f(

π

4

) =2sin(

π

2

+

π

6

)+2
=2cos

π

6

+2
=

3

+2．
（2）若x∈[-

π

2

，0]，
则2x+

π

6

∈[-

5π

6

，

π

6

]，
∴2x+

π

6

=-

π

2

时，f（x）_min=-2+2=0，
2x+

π

6

=

π

6

时，f（x）_max=1+2=3，
∴f（x）的值域是[0，3]．
（3）y=f（-x）=2sin（-2x+

π

6

）+2，
其增区间为：-

π

2

+2kπ≤-2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得-

π

6

-kπ≤x≤

π

3

-kπ，k∈Z，
∴y=f（-x）的单调递增区间是[-

π

6

-kπ，

π

3

-kπ]，k∈Z．

点评：本题考查解三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．解题时要注意二倍角公式和三角函数和（差）公式的灵活运用．