Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2n²（n∈N^*）；b₁=3且bn+1=

1

4

bn+

3

4

（n∈N^*），
（1）写出a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（3）设cn=

an

bn-1

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列的递推公式直接求解．
（2）利用数列中a_n与Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

求数列{a_n}的通项公式，在bn+1=

1

4

bn+

3

4

两边同时减去1，构造等比数列{b_n-1}，再去求{b_n}的通项公式．
（3））cn=

an

bn-1

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，利用错位相消法求和．

解答：22 解：（1）a₁=2，a₂=6，a₃=10，a₄=14…（4分）
（2）由题意s_n=2n²，当n≥2时sn-1=2(n-1)2，
两式相减得a_n=4n-2，
当n=1时，a₁=2也满足，
∴a_n=4n-2（n∈N^*）；
由bn+1=

1

4

bn+

3

4

，知bn+1-1=

1

4

(bn-1)即

bn+1-1

bn-1

=

1

4

∴数列{b_n-1}是以首项为2，公比为

1

4

的等比数列，
∴b_n-1=

2

4n-1

，
∴b_n=

2

4n-1

+1（n∈N^*）．（9分）
（2）∵cn=

an

bn-1

=

4n-2

2 4n-1

=（2n-1）4^n-1，

∴Tn=c1+c2+…+cn=1+3×41+5×42+…+(2n-1)4n-1， 4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-1+(2n-1)4n

两式相减得

3Tn=-1-2(41+42+43+…+4n-1)+(2n-1)4n= 1 3 [(6n-5)4n+5] ∴Tn= 1 9 [(6n-5)4n+5].

（14分）

点评：本题主要考查数列通项公式求解：利用了a_n与Sn关系以及构造法．形如a_n+1=pa_n+q递推数列，这种类型可转化为a_n+1+m=4（a_n+m）构造等比数列求解．还考查错位相消法求和．