题目内容

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=ax•g（x）（a＞0，a≠1）；②g（x）≠0；③f（x）•g'（x）＞f'（x）•g（x），
若
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，则logax＞1成立的x的取值范围是
 
．
分析：由已知本题可以采用构造函数的方法来处理，此处由已知函数式f（x）=ax•g（x）来构造函数ax=
f(x)
g(x)
较为自然，再利用函数的导数可知ax=
f(x)
g(x)
是一个减函数，从而可确定参数a的范围：0＜a＜1，进一步来求解不等式logax＞1．
解答：解：由已知g（x）≠0，所以得ax=
f(x)
g(x)
，于是有（ax）′=
f(x)g′(x)-g(x)f′(x)
g2(x)
＜0成立，
    所以ax=
f(x)
g(x)
是R上的增函数，即有  0＜a＜1
    又由
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，代入得a1+a-1=
5
2
，得a=
1
2

    所以有：logax=log
1
2
x＞1=log
1
2
1
2
，可得0＜x＜
1
2

故答案为：（0，
1
2
）
点评：本题考查抽象函数的概念及其应用，构造函数的技巧，函数导数，函数乘积的导数的应用，利用函数导数判断
函数的单调性的性质的考查含参数的式子的处理．
练习册系列答案
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已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）=axg（x），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，在有穷数列{
f(n)
g(n)
}，(n=1，2，…，10)中任取前k项相加，则前k项和大于
15
16
的概率为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g'（x）＞f'（x）g（x），f（x）=ax•g（x），（a＞0且a≠1）
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，令an=
f(n)
g(n)
，则使数列{an}的前n项和Sn超过
15
16
的最小自然数n的值为
 
．
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f（x）g′（x）＞f′（x）g（x），且f（x）=axg（x）（a＞0且a≠1，
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，对于有穷数列
f(n)
g(n)
=(n=1，2，…0)，任取正整数k（1≤k≤10），则前k项和大于
15 
16
的概率是（　　）
已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且f（x）=g（x）ax（a＞0且a≠1），f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
f(1)
g(1)
+
f(-1)
g(-1)
=
5
2
，则a的值为
1
2
1
2
．
已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）
（1）求f（x）及g（x）的解析式，并指出其单调性（无需证明）．
（2）求使f（x）＜0的x取值范围．
（3）设h-1（x）是h（x）=log2x的反函数，若存在唯一的x使
1-h-1(x)1+h-1(x)
=m-2x成立，求m的取值范围．

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