Question

（本小题满分12分）

已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).

(1)设f(x)＝·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；

(2)设有不相等的两个实数x₁，x₂∈，且f(x₁)＝f(x₂)＝1，求x₁＋x₂的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)f(x)的最小正周期T＝2π，f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)     ；(2)x₁＋x₂＝－                                    

【解析】(1)先根据向量的坐标运算，求出f(x)的表达式，然后再借助三角恒等变换公式转化成的形式，再求其最小正周期和单调递减区间.

(2)解三角方程f(x)=1在特定区间上可求得两个根.

(1)由f(x)＝·得

f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos

＝cos²－sin²－2sincos＝cosx－sinx＝cos(x＋)，...........4分

所以f(x)的最小正周期T＝2π.............6分

又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.

故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)      ……..8分

(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝        ……10分

又x∈，于是有x＋∈，得x₁＝0，x₂＝－，

所以x₁＋x₂＝－                                    12分