Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=S_n+2a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n

an+1

(n∈N+)，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n+1=S_n+2a_n+1，可得a_n+1=2a_n+1，进而可得{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，由此可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）确定数列的通项，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵S_n+1=S_n+2a_n+1，∴a_n+1=2a_n+1
∴a_n+1+1=2（a_n+1）
∵a₁=1，∴a₁+1=2，∴{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
∴a_n+1=2ⁿ
∴a_n=2ⁿ-1；
（Ⅱ）bn=

n

an+1

=n•(

1

2

)n，
∴T_n=1×

1

2

+2×(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①
∴

1

2

T_n=1×(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
①-②可得：

1

2

T_n=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1=1-(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1
∴T_n=2-(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项与求和，考查错位相减法，正确运用求和公式是关键．