Question

已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，a₁=b₁=1，且b₃s₃=36，b₂s₂=8（n∈N⁺）．
（1）求a_n和b_n；
（2）若a_n＜a_n+1，求数列

1 anan+1

的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，由题意

b3S3=36 b2S2=8

，a₁=b₁=1，利用通项公式可 得

q2(3+3d)=36 q(2+d)=8

  解出即可；
（2）由a_n＜a_n+1，可知d＞0．由（1）可知：a_n=2n-1．可得

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂项求和即可得到T_n．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，
由题意

b3S3=36 b2S2=8

，a₁=b₁=1，得

q2(3+3d)=36 q(2+d)=8

  
  解得

d=2 q=2

或

d=- 2 3 q=6

．
所以，a_n=2n-1，bn=2n-1或an=-

2

3

n+

5

3

，bn=6n-1．
（2）因为a_n＜a_n+1，所以d＞0，故a_n=2n-1．
所以，

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
故T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

．

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．