Question

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面是矩形且AD=2,AB=PA=,PA⊥底面ABCD,E是AD的中点,F在PC上.

(1)求F在何处时,EF⊥平面PBC.

(2)在(1)的条件下,EF是否是PC与AD的公垂线段?若是,求出公垂线段的长度；若不是,请说明理由.

(3)在(1)的条件下,求直线BD与平面BEF所成的角.

          

Answer 1

解:(1)以A为坐标原点,以射线AD,AB,AP分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则P(0,0, ),A(0,0,0),B(0,,0),C(2,,0),D(2,0,0),E(1,0,0).?

∵F在PC上,∴可令PF=λ.?

设F(x,y,z),=(2,0,0),=(2,2,-2),=(x-1,y,z).                                  ?

∵EF⊥平面PBC,∴·=0且·=0.??

又=λ,可得λ=,x=1,y=z=,故F为PC的中点.                                ?

(2)由(1)可知EF⊥PC,且EF⊥BC,即EF⊥AD.?

∴EF是PC与AD的公垂线段,其长为||=1.                                                        ?

(3)由(1)可知=(2,,-)即为平面BEF的一个法向量,

而=(2,-,0).                                                                                                 ?

设BD与平面BEF所成角为θ,则sinθ=cos〈,〉==.

∴θ=arcsin.?

故BD与平面BEF所成角为arcsin.