Question

求不定积分∫

dx

(1+ex )2

．

Answer 1

分析：在较复杂函数的不定积分的求解中，可以采用换元的方法．设x=γ（t）是单调可导函数，γ（t）^′≠0，又设f[γ（t）]γ（t）^′有原函数，则有换元公式∫f（x）dx=∫f[γ（t）]γ（t）^′dt．利用从公式既可求解．

解答：解：令1+e^x=t，
则dt=e^xdx=（t-1）dx，dx=

dt

t-1

.
∴∫

dx

(1+ex)2

=∫

dt

(t-1)t2

=∫(

1

t(t-1)

-

1

t2

)dt
=∫(

1

t-1

-

1

t

-

1

t2

)dt
=ln(t-1)-lnt+

1

t

+C
=lnex-ln(1+ex)+

1

1+ex

+C
=x-ln(1+ex)+

1

1+ex

+C．

点评：此题主要考查求不定积分的方法之一换元法的应用，题目难度适中，要求与一定的计算量，以及一些固定函数不定积分的记忆．