Question

定义在R上的函数f（x）可导，且f（x）图象连续，当x≠0时，f′（x）+x^-1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）-x^-1的零点的个数为

2

．

Answer 1

分析：根据当x≠0时，f′（x）+x^-1f（x）＞0，可以得到函数xf（x）单调性，g（x）=f（x）-x^-1的零点的个数等价为函数y=xf（x）-1的零点个数，可得y=xf（x）-1＞-1，有2个零点．

解答：解：∵f'（x）+x^-1f（x）＞0，
∴

xf′(x)+f(x)

x

＞0，
当x＞0时，xf'（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]'＞0，则函数y=xf（x）单调递增，
当x＜0时，xf'（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]'＜0，函数y=xf（x）单调递减，
又g（x）=f（x）-x^-1=

xf(x)-1

x

，函数g（x）=

xf(x)-1

x

的零点个数等价为函数y=xf（x）-1的零点个数，
当x＞0时，y=xf（x）-1＞-1，当x＜0时，y=xf（x）-1＞-1，
∴函数y=xf（x）-1有两个零点，
∴函数g（x）=f（x）+x^-1的零点个数为2个．
故答案为：2．

点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，涉及利用导数判断函数的单调性．属中档题．