题目内容
已知函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在区间［0，1］上单调递增，在区间［1，2］上单调递减.（1）求a的值；
（2）若点A（x0，f(x0)在函数f(x)的图象上，求证点A关于直线x=1的对称点B也在函数f(x)的图象上；
（3）是否存在实数b,使得函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由.
(1)解：(1)由于函数f(x)=x4-4x3+ax2-1在［0,1］上单调递增,在区间［1,2］上单调递减,
∴x=1时,f(x)取得极大值,∴f′(1)=0,且在(0,1)上,f′(x)＞0；在(1,2)上,f′(x)＜0.
又f′(x)=4x3-12x2+2ax，∴4-12+2a=0，且f′(x)=4x3-12x2+8x=4x（x-1）（x-2）满足：在（0，1）上，f′(x)＞0；在（1，2）上，f′(x)＜0.
故所求a的值为4.
(2)∵点A(x0,f(x0))关于直线x=1的对称点B的坐标为(2-x0,f(x0)),
而f(2-x0)=(2-x0)4-4(2-x0)3+4(2-x0)2-1=(2-x0)2［(2-x0)-2］2-1=x40-4x30+4x20-1=f(x0).
∴点A关于直线x=1的对称点B也在函数y=f(x)的图象上.
(3)函数g(x)=bx2-1的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点等价于方程x4-4x3+4x2-1=bx2-1即x4-4x3+(4-b)x2=0恰有3个不等实根，
∵x=0是其中的一个实根，∴方程x2-4x+（4-b）=0恰有2个非0的不等实根.
∴Δ=16-4(4-b)＞0且4-b≠0,∴b＞0且b≠4.
故存在这样的实数b,其取值范围为b＞0且b≠4.
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