Question

椭圆=1（a＞b＞0）的左右焦点为F₁，F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A，B两点．
（1）若∠AF₁F₂=60°，且点A在以F₁F₂为直径的圆上，求椭圆的离心率；
（2）若a=，b=1，求的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圆的性质、含60°角的直角三角形的性质、椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出；
（2）利用已知即可得出椭圆的标准方程及其焦点，分类讨论直线AB的斜率，当斜率存在时与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用向量运算及相等即可得出．
解答：解：（1）∵点A在以F₁F₂为直径的圆上，∴AF₁⊥AF₂，
∵∠AF₁F₂=60°，∴|F₁F₂|=2|AF₁|，，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|，2c=|F₁F₂|，
∴离心率=．
（2）∵，∴c=1，点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
∴椭圆的方程为．
①若AB垂直于x轴，，
∴，∴．
②若AB与x轴不垂直，设直线的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x+1），
由，得（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
∵△=8k²+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），，
=
==，
∵，
∴．
综合①，②得，•，
∴当直线l垂直于x轴时，取得最大值，当直线l与x轴重合时，取得最小值-1．
点评：熟练掌握分类讨论思想方法、椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量的运算相等等是解题的关键．