Question

设m个不全相等的正数a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次围成一个圆圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差为d的等差数列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比为q=d的等比数列；数列a₁，a₂，…，a_m的前n项和S_n（n≤m）满足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通项a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每个数a_n（n≤m）是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：
。

Answer 1

解：（Ⅰ）因是公比为d的等比数列，
从而，
由，
故解得d=3或d=-4（舍去），因此d=3，
又，
从而当n≤1005时，；
当1006≤n≤2009时，
由是公比为d的等比数列，
得，
因此；
（Ⅱ）由题意得
 ，
由①得，④
由①，②，③得，
故，⑤
又，
故有，⑥
下面反证法证明：m=6k，若不然，设m=6k+p，其中1≤p≤5，
若取p=1即m=6k+1，
则由⑥得，
而由③得，得，
由②得，
而，
由④及⑥可推得（1≤n≤m）与题设矛盾；
同理若P=2，3，4，5均可得（1≤n≤m）与题设矛盾，
因此m=6k为6的倍数，
由均值不等式得，
由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），
故等号不成立，从而；
又m=6k，由④和⑥得

，
因此由⑤得
。