Question

1．设函数f（x）=|x-a|+4x，其中a＞0．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（2）若x∈（-2，+∞）时，恒有f（2x）＞7x+a²-3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=2，转化不等式为|x-2|≥-2x+1，去掉绝对值求解就．
（2）求出$f（2x）-7x=|2x-a|+x=\left\{{\begin{array}{l}{3x-a（x≥\frac{a}{2}）}\\{a-x（x＜\frac{a}{2}）}\end{array}}\right.$．通过a＞0，x∈（-2，+∞），求出表达式的最小值，然后求解a的范围即可．

解答 （本题满分10分）
解：（1）a=2时，f（x）=|x-a|+4x=|x-2|+4X，
由f（x）≥2x+1，
即|x-2|≥-2x+1，可得x-2≥-2x+1或x-2≤2x-1，
解得x≥-1，∴x∈[-1，+∞）（5分）
（2）f（2x）＞7x+a²-3，可化为：f（2x）-7x＞a²-3，
则$f（2x）-7x=|2x-a|+x=\left\{{\begin{array}{l}{3x-a（x≥\frac{a}{2}）}\\{a-x（x＜\frac{a}{2}）}\end{array}}\right.$．
由于a＞0，x∈（-2，+∞），所以当$x=\frac{a}{2}$时，f（2x）-7x有最小值$\frac{a}{2}$．
若使原命题成立，只需$\frac{a}{2}＞{a^2}-3$，解得a∈（0，2）．（10分）

点评 本题考查函数的最值的应用，函数恒成立以及绝对值不等式的解法，考查计算能力．