Question

如图所示，多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成．其中AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3，AB与BC垂直，AB=BC=1
（1）在A₁B₁上是否存在一点D₁，使得C₁D₁平行于平面ABC．
（2）求二面角B₁-A₁C₁-A的大小．
（3）求该多面体的体积．

Answer 1

分析：（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．根据线面平行的判定可以证明．
（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则△OC₁A₁为△C₁A₁，B₁的射影，分别求出面积，利用公式可求；
（3）多面体的体积为VABC-A1B1C1+VB1-EFC1A1，分别计算，即可求得．

解答：解：（1）A₁B₁上存在一点D₁，满足D₁为A₁B₁的中点，使得C₁D₁平行于平面ABC．
D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，连接DD₁，C₁D₁，
∵多面体ABC-A₁B₁C₁是由直棱柱被平面A₁B₁C₁而成
∴AA₁∥BB₁∥CC₁，
∵AA₁=4，BB₁=2，D₁为A₁B₁的中点，取AB 的中点D，
∴DD₁∥CC₁，且DD₁=CC₁=3
∴四边形CDD₁C₁为平行四边形
∴D₁C₁∥DC
∵D₁C₁?平面ABC，DC?平面ABC
∴C₁D₁∥平面ABC．
（2）过B₁点作AA₁，CC₁的垂线，垂足为E，F，连接EF，取EF的中点O，则B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∵AB与BC垂直，AB=BC=1
∴EB₁=FB₁=1，EF=

2

∵OB₁=

2

2

，
∵AA₁=4，BB₁=2，CC₁=3
∴C₁F=1
∴A₁B₁=

5

，B₁C₁=

2

，A₁C₁=

3

∴△A₁B₁C₁为直角三角形，
∴B₁C₁⊥A₁C₁，
∵B₁O⊥平面C₁A₁B₁，
∴OC₁⊥平面C₁A₁B₁，
∴∠OC₁B₁为二面角B₁-A₁C₁-A的平面角
∵sin∠OC₁B₁=

OB1

B1C1

=

2 2

2

=

1

2

∴∠OC₁B₁=30°
∴二面角B₁-A₁C₁-A的大小为30°
（3）四边形EFC₁A₁的面积为

1+2

2

×

2

=

3

2

2

，B₁O=

2

2

多面体的体积为VABC-A1B1C1+VB1-EFC1A1=

1

2

×1×1×2+

1

3

×

3

2

2

×

2

2

=

3

2

点评：本题重点考查线面平行，面面角，考查多面体的体积，解题的关键是用好线面平行的判定，确定射影面积，及分割法求多面体的体积，综合性强，难度大．