Question

已知在同一平面内满足条件：=，．
（I）求证：△ABC为正三角形；
（II）类比于（I），在同一平面内，若向量满足条件：=，，试判断四边形ABCD的形状，并给予证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量的运算法则将等式中的向量 用三角形的各边对应的向量表示，得到边的关系，得出三角形的形状．
（II）先，根据向量的运算得出：∠AOB=∠COD；∠AOD=∠BOC从而∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线及、O、D三点共线，又得出四边形ABCD为矩形．
解答：解：（I）证明：设
则（3分）
∴△ABC为正三角形（6分）
（II）四边形ABCD为矩形（8分），则⇒2r²+2r²cos∠AOB=2r²+2r²cos∠COD⇒∠AOB=∠COD
同理∠AOD=∠BOC（10分）
又∠AOB+∠BOC+∠COD+∠DOA=360°
∴∠AOD+∠COD=180°即A、O、C三点共线
同理B、O、D三点共线又
∴四边形ABCD为矩形．（12分）
点评：本题考查向量的运算法则及利用向量判断出三角形的形状．解答的基础是对向量运算和变形的熟悉掌握．