Question

设函数f（x）=lnx，g(x)=px-

p

x

-2f(x)．
（I）若g（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数p的取值范围；
（II）求证：f（1+x）≤x（x＞-1）；
（III）求证：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)．

Answer 1

分析：（I）根据对数式的真数大于0，可以求出函数g（x）的定义域，若g（x）在其定义域内为单调递增函数，则g′（x）≥0在其定义域内为恒成立，由此构造关于p的不等式，解不等式即可得到实数p的取值范围；
（II）令h（x）=ln（1+x）-x，利用导数法，我们易求出函数的最小值，比照后进而得到f（1+x）≤x（x＞-1）恒成立；
（III）由（II）得，当x=

1

n

时，则

1

n

＞ln(1+

1

n

)=ln(n+1)-lnn，累加后，整理可得1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln(n+1)．

解答：解：（I）函数f（x）=lnx的定义域为（0，+∞）
g(x)=px-

p

x

-2lnxg′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2+p-2x

x2

（1分）
则函数f（x）的定义域也为（0，+∞）
若g′(x)≥0?px2+p-2x≥0?p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

∵x+

1

x

≥2∴

2

x+ 1 x

≤1
∴p≥1（4分）
（II）令h（x）=ln（1+x）-x
h′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

（5分）
令h'（x）=0?x=0

x	（-1，0）	（6分） （0，+∞）
h'（x）	+	-

∴x=0时，h（x）=h（0）=0
∴x＞-1时，h（x）≤0?ln（x+1）≤x（8分）
（III）由（II），令x=

1

n

，则

1

n

＞ln(1+

1

n

)=ln(n+1)-lnn（10分）
1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞ln2-ln1+ln3-ln2+…+ln(n+1)-lnn=ln（n+1）（13分）

点评：本题考查的知识点是导数在最大值，最小值问题中的应用，对数的运算性质，函数的单调性与导数的关系，其中在使用导数法时，最关键的问题是根据函数的解析式，求出导函数的解析式．