Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]．设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域为R”
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题q为真，求实数a的取值范围；
（3）?p是q的什么条件？请说明理由．

Answer 1

（1）若命题p为真，即f（x）的定义域是R，
则（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0恒成立，…（2分）
则a=-1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)＜0.

…（3分）
解得a≤-1或a＞

5

3

．
∴实数a的取值范围为（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞）．…（5分）
（2）若命题q为真，即f（x）的值域是R，
设u=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为A
则A?（0，+∞），…（6分）
等价于a=1或

a2-1＞0 △=(a+1)2-4(a2-1)≥0.

…（8分）
解得1≤a≤

5

3

．
∴实数a的取值范围为[1，

5

3

]．…（10分）
（3）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，
?p：a∈(-1 ， 

5

3

]；q：a∈[1 ， 

5

3

]．
而(-1，

5

3

]?[1，

5

3

]，
∴?p是q的必要而不充分的条件．…（13分）