Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，S_n为其前n项和，对于任意的n∈N^*，满足关系式2S_n=3a_n-3．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的通项公式是，前n项和为T_n，求证：对于任意的正整数n，总有T_n＜1．

Answer 1

解：（I）由已知得
故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1
即a_n=3a_n-1，n≥2
故数列a_n为等比数列，且q=3
又当n=1时，2a₁=3a₁-3，∴a₁=3，
∴a_n=3ⁿ，n≥2．
而a₁=1亦适合上式
∴a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=1-．
分析：（I）由已知得，故2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1．由此可求出a_n=3ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ），所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=1-．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细计算．