Question

某民营企业从事M国某品牌运动鞋的加工业务，按照国际惯例以美元结算．依据以往的加工生产数据统计分析，若加工订单的金额为x万美元，可获得的加工费的近似值为

1

2

ln(2x+1)万美元．2011年以来，受美联储货币政策的影响，美元持续贬值．由于从生产订单签约到成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx美元（其中m是该时段的美元贬值指数，且0＜m＜1），从而实际所得的加工费为f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx万美元．
（1）若某时段的美元贬值指数m=

1

200

，为了确保企业实际所得加工费随x的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x应该控制在什么范围内？
（2）若该企业加工产品订单的金额为x万美元时共需要的生产成本为

1

20

x万美元．已知该企业的生产能力为x∈[10，20]，试问美元贬值指数m在何范围内时，该企业加工生产不会出现亏损？（已知(ln(2x+1))′=

2

2x+1

）．

Answer 1

分析：（1）根据知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，可得函数解析式，利用导数大于0，即可得到结论；
（2）设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，求出左边对应函数的最小值，即可确定贬值指数m的范围．

解答：解：（1）由已知m=

1

200

，f(x)=

1

2

ln(2x+1)-mx，∴f(x)=

1

2

ln(2x+1)-

x

200

(x＞0)
∴f′(x)=

1

2x+1

-

1

200

=

199-2x

200(2x+1)

由f'（x）＞0⇒199-2x＞0，解得0＜x＜99.5
即加工产品订单金额x∈（0，99.5）（单位：万美元），该企业的加工费随x的增加而增加．
（2）依题意，设企业加工生产不出现亏损，则当x∈[10，20]时，都有

1

2

ln(2x+1)-mx≥

1

20

x，
即10ln（2x+1）-（20m+1）x≥0，
设g（x）=10ln（2x+1）-（20m+1）x，则g′(x)=

-(20m+1)x-20m+19

2x+1

令g（x）=0，则x=

19-20m

40m+2

∵x=

19-20m

40m+2

=

1

2

+

18

40m+2

＜10
∴g（x）在[10，20]上是减函数
所以，g（x）_min=g（20）=10ln41-20（20m+1）≥0，∴m≤

ln41-2

40

，又m＞0，
所以，m∈（0，

ln41-2

40

]时，该企业加工生产不会亏损．

点评：本题考查函数解析式的求解，考查导数在求函数最值问题中的应用，解题的关键是将企业加工生产不出现亏损，转化为不等式，再借助于函数的最值进行研究．