Question

如图，已知正方形ABCD与矩形BEFD所在的平面互相垂直，AB=2，DF=1，P是线段EF上的动点.

(1)若点O为正方形ABCD的中心,求直线OP与平面ABCD所成角的最大值;

(2)在点P为EF的中点时,求直线BP与FA所成角的正弦值;

(3)求二面角AEFC的大小.

Answer 1

解：(1)连结OP.设OP与平面ABCD所成角为α,则α∈［,］.当P是线段EF的中点时,OP⊥平面ABCD,直线OP与平面ABCD所成的最大角是.

(2)连结AF、FC、OF.

易证FO∥PB,∴∠AFO是直线BP与FA所成的角.

依题意,在等腰△AFC中,FO⊥AC,△AOF为直角三角形.

∵AD=,DF=1,∴AF=.

又AO==1,

∴在Rt△AOF中，sin∠AFO=.

(3)连结AE、EC，则AF=FC=AE=EC=.取EF的中点P,连结AP、CP,则AP⊥EF,CP⊥EF,

∴∠APC是二面角AEFC的平面角.

等腰△AEF≌△CEF,∴在△APC中，AP=CP=.

又AC=2,∴△APC是直角三角形,且∠APC=.

∴二面角AEFC的大小是.