Question

如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，
∠BAC=∠ACD=90°，AECD，DC=AC=2AE=2．
（I）求证：AF平面BDE；
（Ⅱ）求二面角B﹣DE﹣C的余弦值．

Answer 1

解：（I）取BD的中点P，连接EP，FP，则PF，
∵，∴EAPF，
∴四边形AFPE是平行四边形，∴AFEP，
又∵EP面BDE，AF平面BDE，
∴AF面BDE．
（Ⅱ）以CA，CD所在直线分别作为x轴，z轴，以过C点和AB平行的直线作为y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，由DC=AC=2AE=2，
得A（2，0，0），B（2，2，0），E（2，0，1），D（0，0，2），
则，，
∵面ACDE⊥面ABC，面ACDE∩面ABC=AC，AB⊥AC，
∴AB⊥面ACDE，
∴是平面CDE的一个法向量，
设面BDE的一个法向量=（x，y，z），则，
∴，即，整理，得，
令y=1，则z=2，x=1，
∴是平面CDE的一个法向量，
故===，
由图形知二面角B﹣DE﹣C的平面角，
所以二面角B﹣DE﹣C的余弦值为．