题目内容
已知圆O：x2＋y2＝8交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，直线：x＝－4为准线的椭圆．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于P，Q两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；
(3)如图所示，若直线PQ与椭圆C交于G，H两点，且
，试求此时弦PQ的长．
答案：
解析：
解析：
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解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为 (Ⅱ)设 (Ⅲ)解法一：设 代入①解得： 从而圆心 从而 解法二：过点 由 由此直线PQ的方程为 解法三：将 消去 所以 |
，则：
，从而：
，故
，所以椭圆的标准方程为
．4分
，则圆K方程为
与圆
联立消去
得
的方程为
，过定点
．8分
，则
，①
，
，即：
(舍去正值)，
，所以
，
到直线
的距离
，
．13分
分别作直线l的垂线，垂足分别为
，设
的倾斜角为
，则：
，从而
，
得：
，
，故
，
，以下同解法一．
联立成方程组消去
得：
，设
．
，
，所以
代入韦达定理得：
，
得：
，
，由图得：
，
，以下同解法一．
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上，O为坐标原点，若圆O上存在点Q，使∠OPQ＝30°，则点P的纵坐标y0的取值范围是
（Ⅲ）给出定点M（0,2），设P、Q分别为直线l和圆O上动点，求|MP|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．
等量关系；