Question

在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，且

cosB

cosC

=-

b

2a+c

（1）求角B的大小；
（2）若b=2

3

，求△ABC面积最大值．

Answer 1

（1）由

cosB

cosC

=-

b

2a+c

得：

cosB

cosC

=-

sinB

2sinA+sinC

，
即2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0，
∴2sinAcosB+sin（B+C）=2sinAcosB+sinA=0，即sinA（2cosB+1）=0，
又0＜A＜π，∴sinA≠0，则cosB=-

1

2

，
又B为三角形的内角，∴B=

2π

3

；
（2）∵b=2

3

，cosB=cos

2π

3

=-

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，即12=a²+c²+ac≥3ac，即ac≤4，
∴S_△ABC=

1

2

acsinB≤

1

2

×4×

3

2

=

3

（当且仅当ac时取等号），
则△ABC面积最大值为

3

．