Question

已知中心在原点的双曲线C的右焦点F₂（2，0），渐近线方程为y=±

3

3

x
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过右焦点F₂的直线l：x=my

+2

与双曲线C右支交于A、B两个不同点，求m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求证：

1

|F2A|

+

1

|F2B|

为定值．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线C的右焦点F₂（2，0），渐近线方程为y=±

3

3

x，建立方程组，从而可求双曲线C的方程；
（2）直线l：x=my

+2

与双曲线C联立，利用直线l：x=my

+2

与双曲线C右支交于A、B两个不同点，建立不等式，可求m的取值范围；
（3）利用韦达定理，结合|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a，可得结论．

解答：（1）解：设双曲线C的方程为

x 2

a2

-

y 2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵双曲线C的右焦点F₂（2，0），渐近线方程为y=±

3

3

x
∴

a2+b2=4 b a = 3 3

，∴b²=1，a²=3
∴双曲线C的方程为

x 2

3

-y2=1；
（2）解：设点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则直线l：x=my

+2

与双曲线C联立，消去x可得（m²-3）y²+4my+1=0
∵直线l：x=my

+2

与双曲线C右支交于A、B两个不同点，
∴y₁y_2＜0
∴

1

m2-3

＜0
∴-

3

＜m＜

3

；
（3）证明：由（2）知，y1+y2=-

4m

m2-3

，y1y2=

1

m2-3

∴x1+x2=

-12

m2-3

，x1x2=

-3m2-12

m2-3

|F2A|=e(x1-

a2

c

)=ex₁-a，|F2B|=e(x2-

a2

c

)=ex₂-a
∴

1

|F2A|

+

1

|F2B|

=

1

ex1-a

+

1

ex2-a

=

2 3 × -12 m2-3 -2 3

4 3 × -3m2-12 m2-3 -2× -12 m2-3 +3

=2

3

为定值．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．