题目内容

已知函数f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）为（0，+∞）上的单调函数，试确定实数m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在定义域上的极值；
（Ⅲ）设 $数学公式$ ，求证：a_n＞ln2．

解：（Ⅰ） $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$
∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增
∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；
（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，
∴f（x）没有极值；
②当m＞0时，由f'（x）＞0得 $\text{[math]}$ ；
由f'（x）＜0得 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ 上单调递增， $\text{[math]}$ 上单调递减．
故当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极大值 $\text{[math]}$ ，但无极小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
所以a_n＞ln2．
分析：（Ⅰ）由题意得 $\text{[math]}$ 所以 $\text{[math]}$ ，所以m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅱ）因为函数的定义域是（-1，∞）所以当m≤0时 $\text{[math]}$ ＞0所以此时f（x）没有极值；
当m＞0时，由f'（x）＞0得 $\text{[math]}$ ，由f'（x）＜0得 $\text{[math]}$ ，故当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0）， $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值与函数的单调性，在研究函数的性质时要注意函数的定义域．并且利用函数的单调性证明不等式，这是高考考查的重点也是学生学习的难点．