Question

已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上是减函数，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）或．

解析试题分析：（Ⅰ）当时，，由导数的几何意义，先求，再利用点斜式求切线方程；（Ⅱ）先求得．令，得或．再分讨论，列不等式组求的范围．
试题解析：（Ⅰ）当时，，         1分
又，所以．             2分
又，所以所求切线方程为 ，即．所以曲线在点处的切线方程为．            5分
（Ⅱ）方法一：因为，令，得或．   6分
当时，恒成立，不符合题意．            7分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，
则解得．                9分
当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得．                     11分
综上所述，实数的取值范围是或．           12分
（Ⅱ）方法二：．             6分
因为在区间上是减函数，所以在恒成立．       7分
因此                  9分
则                 11分
故实数的取值范围或．              12分
考点：1．导数的几何意义；2．利用导数研究函数的单调性．