Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=3^n-1a_n-1（n≥2，n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设Sn=log3(

an

273n

)，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由递推关系的形式，利用迭乘法求出数列的通项公式．
（2）将（1）求出的通项代入S_n，利用通项与和的关系bn=

S1(n=1) Sn- Sn-1

(n≥2)求出通项．
（3）从数列的项什么时候为正，什么时候为负，对n分段讨论，再利用等差数列的前n项和公式求出和．

解答：解：（1）由已知得，当n≥2时，

an

an-1

=3n-1．
∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=3n-1•3n-2•…•32•31•1=3(n-1)+(n-2)+…+1=3

n(n-1)

2

．
（2）Sn=log3(

an

273n

)
=log3

3 n(n-1) 2

273n

=

n(n-1)

2

-9n=

n2-19n

2

．
b₁=S₁=-9；
当n≥2时，b_n=f（n）-f（n-1）=n-10，
上式中，当n=1时，n-10=-9=b₁，
∴b_n=n-10．
（3）数列{b_n}为首项为-9，公差为1的等差数列，且当n≤10时，b_n≤0，故n≤10时，T_n=|S_n|=

19n-n2

2

．
当n＞10时，T_n=|b₁|+|b₂|+|b₃|+…+|b_n|
=-b₁-b₂-…-b₁₀+b₁₁+…+b_n
=|b₁+b₂+b₃+b₄+…+b_n|+2|b₁+b₂+…+b₁₀|
=

n2-19n+180

2

．
∴T_n=

19n-n2 2 ，(n≤10，n∈N*) n2-19n+180 2 ，(n＞10，n∈N*).

点评：求数列的前n项和问题，关键是判断出数列通项的特点，然后选择合适的求和方法；求数列的通项，先判断出递推关系的特点，然后选择合适的求通项方法．