Question

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项等比数列{b_n}中，前n项的和为S_n^′，且a₁b₁=1，a₄•（1-S₃^′）=1，求S_n^′的表达式；
（3）求数列{a_nS_n^′}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析：本题（1）考查等差数列的通项公式的求法∵S_n=n²+n，a_n=S_n-S_n-1 容易求得；
（2）考查等比数列的求和公式，考查了方程思想与分类讨论的思想，容易求得b1=

1

8

，q=

1

2

，从而可求正项等比数列{b_n}的前n项和s_n^′；
（3）考查分组求和与错位相减法求和．′得到Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

)之后，前者按等差数列求和，后者错位相减法求和．

解答：解：（1）当n=1时，a₁=2，…1′
当n≥2时，a_n=n²+n-（n-1）²-（n-1）=2n，也适合n=1时．=s_n-s_n-1
∴a_n=2n．…4′
（2）设等比数列{b_n}的公比为q．
则有b1=

1

2

，1-

1 2 (1-q3)

1-q

=

1

8

，
化简：4q²+4q-3=0，即（2q-1）（2q+3）=0．
∵q＞0，∴得q=

1

2

．∴

S

/ n

=1-

1

2n

．…7′
（3）∵an

S

/ n

=2n(1-

1

2n

)=2n-

n

2n-1

…8′
∴Tn=2(1+2+3+…+n)-(1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

)…9′
设s=1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

由错位相减法得：s=4-

n+2

2n-1

…11′
故Tn=n(n+1)-4+

n+2

2n-1

．…12′

点评：这道题重点考查考查等差数列的通项公式的求法，分组求和与错位相减法求和，综合性较强，学生容易出错．