Question

已知圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，点P为直线l：3x+4y+1=0上的一动点，若在圆C上存在点M使得∠MPC=30°，则点P横坐标的取值范围

[-

23

25

，1]

．

Answer 1

分析：从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，切线为PM，PN，则∠MPC=30°时，∠MCN为120°，所以PC的长度为2，故可确定点P的横坐标x₀的取值范围．

解答：解：由题意，从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，
不妨设切线为PM，PN，
则∠MPC=60°时，∠MCN=120°，
∵C：（x-1）²+（y-1）²=1中，圆心C（1，1），半径r=1，
∴PC=2，
故问题转化为在直线l：3x+4y+1=0上找到一点P，使它到点C的距离为2．
设P（x₀，

-1-3x0

4

），
∵C（1，1），∴（x₀-1）²+（

-1-3x0

4

-1）²=4，
解得x₀=1或x₀=-

23

25

，
∴点P的横坐标x₀的取值范围是[-

23

25

，1]．
故答案为：[-

23

25

，1]．

点评：本题考查直线与圆的方程的应用，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是明确从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角．