Question

（1）已知f （x+1）=x²+4x+1，求f （x）；
（2）已知f （x-

1

x

）=x2+

1

x2

+1，求f （x）；
（3）设f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，并且f（x）-g（x）=x²-x，求f（x）．

Answer 1

分析：（1）将x+1看成整体，表示x²+4x+1，即可得f（x）的解析式
（2）将x-

1

x

看成整体，表示x2+

1

x2

+1，即可得f（x）的解析式
（3）先利用函数奇偶性的定义，再列一个关于f（x）、g（x）的方程，然后解方程即可

解答：解：（1）∵f （x+1）=x²+4x+1=（x+1）²+2（x+1）-2，∴f （x）=x²+2x-2
（2）∵f （x-

1

x

）=x2+

1

x2

+1=（x-

1

x

）²+3，∴f （x）=x²+3
（3）f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）；g（x）为偶函数∴g（-x）=g（x）
∵f（x）-g（x）=x²-x∴f（-x）-g（-x）=x²+x
从而-f（x）-g（x）=x²+x，f（x）+g（x）=-x²-x
由

f(x)-g(x)=x2-x f(x)+g(x)=-x2-x

⇒

f(x)=-x g(x)=-x2

∴f（x）=-x

点评：本题考查了求函数解析式的几种方法：换元法，配凑法，方程组法，解题时要善于总结各种方法适用的题型，熟练的解决问题