题目内容

已知函数f （x）=2cos²x+ $数学公式$ sinxcosx．
（1）求函数f （x）定义在 $数学公式$ 上的值域．
（2）在△ABC中，若f （C）=2，2sinB=cos（A-C）-cos（A+C），求tanA的值．

解：（1）f（x）=1+cos2x+ $\text{[math]}$ sin2x=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+1
∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ；
∴f（x）∈[0，3]．
即f（x）的值域为[0，3]
（2）由f（C）=2得2sin（2C+ $\text{[math]}$ ）+1=2，∴sin（2C+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．
∵0＜C＜π∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴C= $\text{[math]}$ ∴A+B= $\text{[math]}$ ．
又∵2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）
∴2sinB=2sinAsinC
∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）先对函数f（x）根据二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，再由x的范围求得2x+ $\text{[math]}$ 的范围，最后根据正弦函数的性质可求得f（x）的值域．
（2）将C代入到函数f（x）中可求得C的值，进而可得到A+B的值，再结合2sinB=cos（A-C）-cos（A+C）运用两角和与差的公式即可得到tanA的值．
点评：本题主要考查二倍角公式、两角和与差的公式的应用，考查正弦函数的值域的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，一定要加强基础知识的夯实．