Question

已知直线L：y=3x+3，试求：
（1）点P（4，5）关于直线L的对称点的坐标；
（2）直线y=x-2关于直线L对称的直线方程；
（3）直线L关于点A（3，2）对称的直线方程．

Answer 1

分析：（1）设点P（4，5）关于直线L：y=3x+3 的对称点的坐标为（a，b），则有题意可得

b-5 a-4  ×3=-1 b+5 2 =3× a+4 2 +3

，求得a、b的值，即可得到点P（4，5）关于直线L的对称点的坐标．
（2）先求出直线y=x-2与直线L：y=3x+3的交点E的坐标，再在直线y=x-2上取一点M（0，-2），求出点
M（0，-2）关于直线L：y=3x+3的对称点为N的坐标，由题意可得E、N两点是所求直线上的两个点，利用两点式求得所求直线的方程．
（3）在直线L：y=3x+3上任意取出两个点C（0，3）、D（-1，0），求出这两个点关于点A（3，2）对称点分别为C′、D′的坐标，由题意可得C′、D′是所求直线上的两个点，由两点式求得所求直线的方程．

解答：解：（1）设点P（4，5）关于直线L：y=3x+3 的对称点的坐标为（a，b），则有题意可得

b-5 a-4  ×3=-1 b+5 2 =3× a+4 2 +3

，解得

a=-2 b=7

，
故点P（4，5）关于直线L的对称点的坐标为（-2，7）．
（2）由

y=x-2 y=3x+3

 可得

x=- 5 2 y=- 9 2

，直线y=x-2与直线L：y=3x+3的交点为E（-

5

2

，-

9

2

）．
再在直线y=x-2上取一点M（0，-2），设点M（0，-2）关于直线L：y=3x+3的对称点为N（m，n），
则由

n+2 m-0  ×3=-1 n-2 2 =3× m+0 2 +3

 解得

m=-3 n=-1

，即N（-3，-1）．
由题意可得E、N两点是所求直线上的两个点，利用两点式求得所求直线的方程为

y+ 9 2

-1+ 9 2

=

x+ 5 2

-3+ 5 2

，
化简为 7x+y+22=0．
（3）在直线L：y=3x+3上任意取出两个点C（0，3）、D（-1，0），求出这两个点关于点A（3，2）对称点
分别为C′（6，1）、D′（7，4），
由题意可得C′（6，1）、D′（7，4），是所求直线上的两个点，
由两点式求得所求直线的方程为

y-1

4-1

=

x-6

7-6

，即 3x-y-17=0．

点评：本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的求法，利用了垂直及中点在轴上这两个条件，还考查了中点公式，用两点式求直线的方程，属于中档题．