Question

 (本小题满分14分)

已知椭圆的中心是坐标原点，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为，过点M（0，）与x轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)在y轴上是否存在定点N，使以PQ为直径的圆恒过这个点？若存在，求出N的坐标，若不存在，说明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)先假设存在，联立方程组，利用·可以求出存在

N(0,1)满足要求

【解析】

试题分析：(1)因为离心率为，又，∴a=，c=1,

故b=1，故椭圆的方程为.                                     ……4分

(2)由题意设直线的方程为y=kx－,

联立方程得(2k²+1)x²－kx－=0，

设P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)，

则x₁+x₂=，x_1·x₂=，                                   ……8分

假设在y轴上存在定点N（0，m）满足题设，则

 ，，

·= x₁x₂+(y₁－m)(y₂－m)= x₁x₂+ y₁y₂－m(y₁+y₂) +m²

= x₁x₂+(kx₁－)( kx₂－)－m(kx₁－+ kx₂－) +m²

=(k²+1) x₁x₂－k(+m)(x₁+x₂)+m²+m+

=－k(+m)+m²+m+

=，                                         ……12分

由假设得对于任意的k∈R，·=0恒成立，

即解得m=1，

因此，在y轴上存在定点N，

使得以PQ为直径的圆恒过这个点，点N的坐标为(0,1).                      ……14分

考点：本小题主要考查椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的判定和应用、韦达定理和向量数量积的运算和应用，考查学生的运算求解能力和数形结合思想的应用.

点评：对于探究性问题，一般是先假设存在，然后计算，如果能求出，则说明存在，如果求不出或得出矛盾，则说明不存在.