Question

如图，把边长为40cm的正方形铁皮的四角边去边长为xcm的四个相同的正方形，然后折成一个高度为xcm的无盖的长方体的盒子，要求长方体的高度与底面边长的比值不超过常数k（k＞0），问x取何值时，盒子的容积最大，最大容积是多少？

Answer 1

解：由题意得，函数V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）²x，
且 ，
定义域为 （0，]．
函数V的导数 V'（x）=12x²﹣320x+400，
令 V'=0可得，x=，或 x=（舍去）．
当≤ 时，导数 V'在x= 的左侧为正，右侧为负，
故当x= 时， 函数V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）²x 取得最大值，且最大值为V（）．
当＞ 时，由于当 0＜x＜时，V'（x）＞0，函数V（x）在（0，]是增函数，
故当x= 时，函数V（x）=x（40﹣2x）²=4（20﹣x）²x 取得最大值，且最大值为V（）．