Question

已知函数f（x）=4sin²（

π

4

+x）-2

3

cos2x-1，x∈[

π

4

，

π

2

]．
（1）求f（x）的最大值及最小值；
（2）若条件p：f（x）的值域，条件q：“|f（x）-m|＜2”，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用半角公式与两角和的正弦公式化简函数为一个角的正弦函数，再分析角的范围，根据正弦函数的单调性求出值域即可．
（2）求出条件P的范围，再根据p是q的充分条件求解即可．

解答：解：（1）∵f（x）=2[1-cos（

π

2

+2x）]-2

3

cos2x-1
=2sin 2x-2

3

cos 2x+1=4sin（2x-

π

3

）+1．
又∵

π

4

≤x≤

π

2

，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即3≤4sin（2x-

π

3

）+1≤5，
∴f（x）_max=5，f（x）_min=3．
（2）∵|f（x）-m|＜2，∴m-2＜f（x）＜m+2．
又∵p是q的充分条件，
∴

m-2＜3 m+2＞5

，解之得3＜m＜5．
因此实数m的取值范围是（3，5）．

点评：本题考查复合三角函数的单调性、值域问题及充分条件的判定．