题目内容

若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程：
①x²-y²=1；
②y=x²-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④ $数学公式$
对应的曲线中存在“自公切线”的有________．

②③
分析：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②在 x= $\text{[math]}$ 和 x=- $\text{[math]}$ 处的切线都是y=- $\text{[math]}$ ，故②有自公切线．
③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④结合图象可得，此曲线没有自公切线．
解答：①x²-y²=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；
②y=x²-|x|= $\text{[math]}$ ，在 x= $\text{[math]}$ 和 x=- $\text{[math]}$ 处的切线都是y=- $\text{[math]}$ ，故②有自公切线．
③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ= $\text{[math]}$ ，sinφ= $\text{[math]}$ ，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．
④由于 $\text{[math]}$ ，即 x²+2|x|+y²-3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．
故答案为②③．
点评：正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．