Question

已知函数f(x)=x++lnx（a∈R），
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间与极值点；
(Ⅱ)若对，函数f(x)满足对都有f(x)＜m成立，求实数m的取值范围（其中e是自然对数的底数）。

Answer 1

解：(Ⅰ)，
①a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在(0，+∞)上单调递增，此时函数 f(x)无极值点；
②a＞0，令（舍去），
当0＜x＜x₁时，f′(x)＜0，f(x)在(0，x₁)上单调递减；
当x＞x₁时，f′(x)＞0，f(x)在(x₁，+∞)上单调递增；
即f(x)在上单调递减，在上单调递增，
此时函数f（x）仅有极小值点。
(Ⅱ)函数f(x)满足：，对都有f(x)＜m成立，
即f(x)在[1，e]上的最大值小于m，
由(Ⅰ)知，，f(x)在上单调递减，在上单调递增，
所以，对恒成立，
又1+2e²-(3e+l)=(2e-3)e＞01+2e²＞3e+l，
故实数m的取值范围是（1+2e²，+∞）。