Question

已知双曲线的中心在原点，焦点F₁，F₂在x轴上，准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
（1）求双曲线的方程；
（2）若A、B分别为双曲线的左、右顶点，双曲线的弦PQ垂直于x轴，求直线AP与BQ的交点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的准线方程及渐近线方程公式得到方程组

a2 c = 1 2 b a = 3

求出a，b的值，即得到双曲线的方程．
（2）设出点P，Q，M的坐标，利用点斜式写出直线PA，QB的方程，联立两直线的方程求出交点坐标与点P坐标的关系，代入双曲线的方程求出交点的轨迹方程．

解答：解：（1）设双曲线的方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
因为准线方程为x=±

1

2

，渐近线为y=±

3

x．
所以

a2 c = 1 2 b a = 3

解得a=1，b=

3

，
所以双曲线方程为x2-

y2

3

=1
（2）设点P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），又知A（-1，0），B（1，0），
则可得到直线的方程PA：y=

y0

x0+1

(x+1)；
QB：y=

-y0

x0-1

(x-1)
由

y= y0 x0+1 (x+1) y= -y0 x0-1 (x-1)

得

x0= 1 x y0= y x

代入方程x02 -

y02

3

=1
得x2+

y2

3

=1，
又由|x₀|＞1得-1＜x＜1且x≠0得到xy≠0
所以直线AP与BQ的交点M的轨迹方程为x2+

y2

3

=1，（-1＜x＜1且xy≠0）

点评：本题考查求圆锥曲线的方程一般利用待定系数法；解决曲线的轨迹方程问题，常用的方法有：直接法、、交轨法、
定义法、待定系数法、相关点法等．