Question

【题目】借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数，例如要表示分段函数g（x）=总可以将g（x）表示为g（x）=xh（x-2）+（-x）h（2-x）．

（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；

（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+logaxh（x-1）是R上的减函数，求a的取值范围；

（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）=； （2）≤a＜； （3）当a≤-时，最小值为-a+；当a≥时，最小值为为a+；当-＜a＜时，最小值为F（a）=a2+1．

【解析】

（1）分当x＞1、当x＝1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据函数的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；

（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a的范围；

（3）由题意，讨论x＞a，x＝a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a、a和a的4种情况进行讨论，最后综合可得F（x）的最小值．

（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0（1-x2）=x2-2x+3；

当x=1时，f（x）=2；

当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．

即有f（x）=；

（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+logaxh（x-1）

=，

由y=G（x）是R上的减函数，

可得，

解得≤a＜；

（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），

当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；

若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；

若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；

当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；

当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．

若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；

若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．

①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，

在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，

可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；

②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．

F（x）的最小值为F（a）=a2+1；

③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，

在区间（-，+∞）上单调递增．

所以F（x）的最小值为F（-）=-a+；

综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；

当a≥时，F（x）的最小值为为a+；

当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．