Question

17．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），若存在实数x，y，使向量$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+（4x²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=-y$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{x-1}$$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$．
（1）试求函数y=f（x）的关系式；
（2）若x＞1，则是否存在实数m，使得m＜f（x）恒成立？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$，从而有$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=0$，带入向量$\overrightarrow{c}，\overrightarrow{d}$，然后进行数量积的运算，从而得到$-y{\overrightarrow{a}}^{2}+[\frac{1}{x-1}-y（4{x}^{2}-3）]\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，这样根据向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的坐标，求出${\overrightarrow{a}}^{2}，\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}，{\overrightarrow{b}}^{2}$带入即可得出y=f（x）的关系式：y=$\frac{4{x}^{2}-3}{4（x-1）}$；
（2）求导数，$f′（x）=\frac{4{x}^{2}-8x+3}{4（x-1）^{2}}$，根据导数符号，可求出f（x）在（1，+∞）上的最大值6，从而说明存在m＜6使得m＜f（x）在（1，+∞）上恒成立．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=[\overrightarrow{a}+（4{x}^{2}-3）\overrightarrow{b}]•[-y\overrightarrow{a}+\frac{1}{x-1}\overrightarrow{b}]=0$；
∴$-y{\overrightarrow{a}}^{2}+[\frac{1}{x-1}-y（4{x}^{2}-3）]\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$$+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}{\overrightarrow{b}}^{2}=-4y+0+\frac{4{x}^{2}-3}{x-1}=0$；
∴$y=f（x）=\frac{4{x}^{2}-3}{4（x-1）}$；
（2）$f′（x）=\frac{4{x}^{2}-8x+3}{4（x-1）^{2}}$；
令4x²-8x+3=0得，x=$\frac{3}{2}$，或$\frac{1}{2}$；
∵x＞1；
∴$x∈（1，\frac{3}{2}）$时，f′（x）＜0，x$∈（\frac{3}{2}，+∞）$时，f′（x）＞0；
∴$x=\frac{3}{2}$时，f（x）取到最小值6；
∴存在m＜6时，使m＜f（x）在x＞1上恒成立．

点评 考查两向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及其坐标运算，根据导数符号求函数最大值的方法和过程，要理解恒成立的含义．