Question

已知f（x）=x²+2x+alnx
（1）当a=-4，求f（x）的最小值；
（2）若f（x）在（0，1）不单调，求a的取值范围；
（3）当t≥1时，f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞）
当a=-4时，f（x）=x²+2x-4lnx，
f′(x)=2x+2-

4

x

=

2(x+2)(x-1)

x

．
当x∈（0，1）时，f′（x）0．
所以，f（x）在x=1时取得极小值，也就是最小值，等于f（1）=3；
（2）因为f（x）=x²+2x+alnx（x＞0），
所以f′(x)=2x+2+

a

x

=

2x2+2x+a

x

．
设g（x）=2x²+2x+a，
∵函数f（x）在区间（0，1）上不单调，
∴

g(0)＜0 g(1)＞0

，即

a＜0 4+a＞0

，解得-4＜a＜0．
∴实数a的取值范围是{a|-4＜a＜0}；
（3）不等式f（2t-1）≥2f（t）-3可化为
2t²-4t+2≥alnt²-aln（2t-1）
∴2t²-alnt²≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t²）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t²≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可．
即h′(x)=2-

a

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，
故a≤2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．