Question

4．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，a），$\overrightarrow{n}$=（sinx，-2cosx），f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$．
（1）若f（$\frac{π}{3}$）=1，求a的值；
（2）是否存在常数a，使得f（x）的最大值为4．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin²x-2acosx．利用f（$\frac{π}{3}$）=1，化简整理即可得出．
（2）f（x）=1-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+1+a²．假设存在常数a，使得f（x）的最大值为4．对a分类讨论，利用二次函数的单调性与三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=sin²x-2acosx．
∵f（$\frac{π}{3}$）=1，
∴$（sin\frac{π}{3}）^{2}$-2a$cos\frac{π}{3}$=1，
∴$\frac{3}{4}$-a=1，解得a=-$\frac{1}{4}$．
（2）f（x）=sin²x-2acosx=1-cos²x-2acosx=-（cosx+a）²+1+a²．
假设存在常数a，使得f（x）的最大值为4．
则当a≥1时，-（-1+a）²+1+a²=4，解得a=2．
当a≤-1时，-（1+a）²+1+a²=4，解得a=-2．
当-1＜a＜1时，1+a²=4，解得a=$±\sqrt{3}$，舍去．
综上可得：a=±2．
因此：存在常数a=±2，使得f（x）的最大值为4．

点评 本题考查了二次函数的单调性、三角函数的单调性、数量积运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．