Question

给出定义：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数f（x）=x-{x}的四个命题：
①y=f（x）的定义域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；
③函数y=f（x）的最小正周期为1；
④函数y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函数；
则其中真命题是______．

Answer 1

①中，令x=m+a，a∈（-

1

2

，

1

2

]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-

1

2

，

1

2

]
所以①正确；
②中∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=f（-x）
∴点（k，0）（k∈Z）是y=f（x）的图象的对称中心；故②错；
③中，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期为1，故③正确；
④中，x=-

1

2

时，m=-1，
f（-

1

2

）=

1

2

x=

1

2

时，m=0，
f（

1

2

）=

1

2

所以f（-

1

2

）=f（

1

2

）
所以④错误．
故答案为：①③．