Question

【题目】（本小题满分14分）

如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.

（1）求证： ；

（2）求二面角的平面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：第（1）小题设计为证明，只需证明平面；第（2）小题求二面角的大小，解决方法多样，既可以用综合法，也可以用向量法求解．

试题解析：（1）证明：∵是的中点，且，∴．

∵ △与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴，．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面， ∴．

∵ 四边形是正方形∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

∵，平面，平面，

∴平面．

∵平面，∴．

（2）解法1：作于，连接，

∵⊥平面，平面∴．

∵，平面，平面，

∴⊥平面．

∵平面，∴．

∴∠为二面角的平面角．

设正方形的边长为，则，，

在Rt△中，在Rt△中，

，，

在Rt△中，．

所以二面角的平面角的正弦值为．

解法2：以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴 ，

建立空间直角坐标系，设，

则，，,．

∴，．

设平面的法向量为，由得

令，得，∴为平面的一个法向量．

∵平面，平面，∴ 平面平面．

连接，则．

∵ 平面平面，平面，

∴平面．

∴ 平面的一个法向量为．

设二面角的平面角为，

则．

∴．

∴ 二面角的平面角的正弦值为．