Question

如图，AB是圆O的直径，C是圆周上不同于A、B的一点，VA⊥平面ABC，VA=AB．
（I）证明：平面VAC⊥平面VBC；
（II）当三棱锥A-VBC的体积最大值时，求VB与平面VAC所成角的大小．

Answer 1

分析：（I）由圆周角定理可得BC⊥AC，由线面垂直的性质可得BC⊥VA，进而由线面垂直的判定定理可得BC⊥面VAC，再由面面垂直的判定定理得到平面VAC⊥平面VBC；
（II）由（I）可得VA为三棱锥V-ABC的高，故△ABC的面积最大时，V_A-VBC最大，设BC=x （0＜x＜2a），由基本不等式，可得三棱锥A-VBC的体积最大值时BC的长，结合（1）中BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，解三角形可得答案．

解答：证明：（I）∵AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，
∴BC⊥AC，…（2分）
由VA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥VA，
而AC∩VA=A，AC，VA?平面VAC
∴BC⊥面VAC，…（4分）
由BC?平面VBC，
∴平面VAC⊥平面VBC．…（6分）
解：（II）∵VA⊥平面ABC，
∴VA为三棱锥V-ABC的高，
则VA-VBC=VV-ABC=

1

3

S△ABC•VA=

2a

3

S△ABC，
当△ABC的面积最大时，V_A-VBC最大．…（8分）
设AB=2a，
设BC=x （0＜x＜2a），则AC=

4a2-x2

，
则S△ABC=

1

2

x•

4a2-x2

=

1

2

x2(4a2-x2)

=

1

2

-(x2-2a2)+4a4

∴当x²=2a²时，即x=

2

a∈(0，2a)时，△ABC的面积最大，V_A-VBC最大．…（10分）
由（1）知：BC⊥面VAC，则∠BVC为VB与平面VAC所成角，…（12分）
在Rt△VBC中，BC=

2

a，VB=2

2

a，sin∠BVC=

BC

VB

=

1

2

，
∴∠BVC=30°，
故直线VB与平面VAC所成角为30°．…（14分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直，线面垂直与面面垂直之间的相互转化，（II）的关键是求出线面夹角的平面角，将空间线面夹角转化为解三角形问题．