Question

指出函数y=ax³+1的单调性，并加以证明．（其中a是非零常数）

Answer 1

分析：当a＞0时，设＜x₁＜x₂ ，计算 f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，从而y=ax³+1是增函数．当a＜0时，同理可证，y=ax³+1是减函数．

解答：解：当a＞0时，设-∞＜x₁＜x₂＜+∞，y=f（x）=ax³+1，则f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]．（10分）
由题设可得 x₁-x₂＜0，由于(x1+

1

2

x2)2与

3

4

x

2 2

不可能同时为零，[(x1+

1

2

x2)2+

3

4

x

2 2

]＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，从而y=ax³+1是增函数．（12分），
当a＜0时，同理可证，y=ax³+1是减函数．（14分）

点评：本题主要考查函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．