已知函数f.且满足f的值,当x1.x2∈时都有f(x2)-f(x1)x2-x1＞0．若f≤3成立.求x的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）函数f（x）当x₁，x₂∈（0，+∞）时都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．若f（1）+f（x-2）≤3成立，求x的取值范围．

分析：（1）令x=1，y=2，代入f（xy）=f（x）+f（y）可求出f（1）的值，同理可求出f（4）、f（8）的值；
（2）根据当x₁，x₂∈（0，+∞）时都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0可得函数f（x）在（0，+∞）为增函数，由f（1）+f（x-2）≤3化为f（x-2）≤f（8），然后根据单调性与定义域建立关系式，可求出x的取值范围．

解答：解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1，
令x=1，y=2∴f（2）=f（1）+f（2）得f（1）=0，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2
f（8）=f（2）+f（4）=3
（2）∵当x₁，x₂∈（0，+∞）时都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
∴函数f（x）在（0，+∞）为增函数，
由f（1）+f（x-2）≤3，
化为f（x-2）≤f（8），
则

x-2＞0

x-2≤8

∴{x|2＜x≤10}．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数单调性的判断，同时考查了转化的思想和分析问题的能力，属于中档题．

练习册系列答案

相关题目

，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）图象上的两点，横坐标为

的点P满足2

（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求证：y₁+y₂为定值；
（Ⅱ）若Sn=f(

)+f(

)+…+f(

n-1

)，其中n∈N^*，且n≥2，求S_n；
（Ⅲ）已知a_n=

， n=1

4(Sn+1)(Sn+1+1)

，n≥2

，其中n∈N^*，T_n为数列{a_n}的前n项和，若T_n＜m（S_n+1+1）对一切n∈N^*都成立，试求m的取值范围．

下列说法正确的有（　　）个．
①已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的?x∈（a，b），有f′（x）＞0．
②函数f（x）图象在点P处的切线存在，则函数f（x）在点P处的导数存在；反之若函数f（x）在点P处的导数存在，则函数f（x）图象在点P处的切线存在．
③因为3＞2，所以3+i＞2+i，其中i为虚数单位．
④定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和In=

i=1

f(ξi)△x中ξ_i的选取是任意的，且I_n仅于n有关．
⑤已知2i-3是方程2x²+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26．

），直线y=m与两个相邻函数的交点为A，B，若m变化时，AB的长度是一个定值，则AB的值是（　　）

（Ⅰ）已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，S₂．则

为定值；
（Ⅱ）对于一般的三次函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明．

已知函数f（x）=x³-ax+b存在极值点．
（1）求a的取值范围；
（2）过曲线y=f（x）外的点P（1，0）作曲线y=f（x）的切线，所作切线恰有两条，切点分别为A、B．
（ⅰ）证明：a=b；
（ⅱ）请问△PAB的面积是否为定值？若是，求此定值；若不是求出面积的取值范围．

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