Question

设函数f(x)=

x2-(4a+1)x-8a+4，x＜1 logax，x≥1

（1）若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围．
（2）当a=2时，令函数g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）（3），求函数g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）若函数f（x）是R上的减函数，则f（x）=log_ax（x≥1）的底数0＜a＜1，f（x）=x²-（4a+1）x-8a+4（x＜1）的对称轴x=

4a+1

2

≥1．
（2）将g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）化为g（x）=log2[(2+1x)+

4

2x+1

+4]，利用基本不等式即可解决．

解答：解：（1）若函数f（x）是R上的减函数，则：

4a+1 2 ≥1 0＜a＜1 12-(4a+1)×1-8a+4≥loga1

…（5）
解得

1

4

≤a≤

1

3

，故实数a的取值范围是[

1

4

，

1

3

]…（6）
（2）g（x）=2f（2^x+3）-f（2^x+1）=2log2(2x+3)-log2(2x+1)=log2

(2x+3)2

2x+1

…（8）
=log2

(2x+1)2+4(2x+1)+4

2x+1

=log2[(2+1x)+

4

2x+1

+4]，
∵（2^x+1）+

4

2x+1

+4≥2

(2x+1)• 4 2x+1

+4=8，当且仅当2^x+1=

4

2x+1

，即2^x+1=2，x=0时“=“成立，
则函数g（x）≥log₂8=3，故函数g（x）的最小值为3…（12）

点评：本题考查基本不等式与函数单调性的性质，难点在于（1）的题意的理解与不等式组的构建，属于中档题．